0,(9)

"0,(9)" или "0,999…" ( 0.\bar , 0.\dot) («ноль и девять в периоде») — Десятичная дробь
периодическое десятичное число, которое в точности равно числу 1 (число)
1. То есть строки «0,999…» и «1» представляют одно и то же Вещественное число
вещественное число.

У этого равенства существует несколько Математическое доказательство
доказательств разного уровня сложности, базирующихся как на свойствах вещественных чисел, так и на дополнительных предположениях, исторических предпосылках и многом другом.

Доказательства
Алгебраические
Деление столбиком
Часто рациональная дробь может быть представлена десятичной только с бесконечным хвостом. Используя деление столбиком, деление двух целых чисел, например приводит к бесконечному 0.333… в десятичной записи, где цифры повторяются бесконечно. Таким образом легко доказывается равенство 0.999… 1. Умножение 3 на 3 даёт 9 в каждом разряде, поэтому 3 × 0.333… эквивалентно 0.999…. И 3 × эквивалентно 1, поэтому 0.999… 1.cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, 'Calculus made easy', St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.

:{
style'wikitable'

1 3 \cdot \frac 3 \cdot 0{,}333\ldots 0{,}999\ldots 0{,}(9);

width'10px'


width'10px' style'border-left:1px solid silver;'


1 9 \cdot \frac 9 \cdot 0{,}111\ldots 0{,}999\ldots 0{,}(9).

}

Манипуляции с цифрами
:
\begin
x & 0{,}999\ldots; \\
10x & 9{,}999\ldots; \\
10x - x & 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots; \\
9x & 9; \\
x & 1; \\
0{,}999\ldots & 1.
\end


Аналитические
Число 0.999… в общем виде можно записать как b_0.b_1b_2b_3b_4b_5\dots
Бесконечные последовательности
В соответствии с определением позиционной Система счисления
системы счисления, посчитаем Сумма ряда
сумму ряда:
:b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots b_0 + b_1({\tfrac{10) + b_2({\tfrac{10)^2 + b_3({\tfrac{10)^3 + b_4({\tfrac{10)^4 + \cdots .

Для 0.999… применим теорему о сумме сходящейся Геометрическая прогрессия
геометрической прогрессии:Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
:Если
r
, то ar+ar^2+ar^3+\cdots \frac.

Радиус сходимости (знаменатель прогрессии) r\textstyle\frac, и таким образом:
:0.999\ldots 9(\tfrac) + 9({\tfrac{10)^2 + 9({\tfrac{10)^3 + \cdots \frac{9({\tfrac{10)}{1-{\tfrac 1.\,
Такое доказательство (в вещественности что 10 эквивалентно 9.999…) было опубликовано в 1770 Эйлер, Леонард
Леонардом Эйлером в издании ''.Euler p.170


Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. Выпущенный в 1811 учебник 'An Introduction to Algebra' также использует геометрическую прогрессию для числа 0,(9) .Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177 В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение: сумма ряда 'должна' быть пределом последовательности частичных сумм.For example, J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31

Последовательность ('x'0, 'x'1, 'x'2, …) имеет предел последовательности
предел 'x' тогда и только тогда, когда
'x' − 'x''n'
бесконечна мала с ростом 'n'. Утверждение 0.999…  1 может быть интерпретировано как предел:The limit follows, for example, from Rudin p. 57, Theorem 3.20e. For a more direct approach, see also Finney, Weir, Giordano (2001) 'Thomas' Calculus: Early Transcendentals' 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
:0.999\ldots \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_ \lim_{n\to\infty}\sum_^n\frac{10^k} \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{10^n}\right) 1-\lim_{n\to\infty}\frac{10^n} 1.\,

Последний шаг \lim_{n\to\infty} \frac{10^n} 0 — делается на основании того, что вещественные числа удовлетворяют Аксиома Архимеда
аксиоме Архимеда.

Применение
Существует много применений, например в элементарной Теория чисел
теории чисел. В 1802 H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении на Простое число
простые числа. Например:
1/7 0.142857142857… и 142 + 857 999.
1/73 0.0136986301369863… и 0136 + 9863 9999.
E. Midy в 1836 обобщил данные наблюдения в теорему: ''.

Примечания


См. также

Отрицательный и положительный ноль
−0 и +0



ru.wikipedia.org