1-форма

"1-фо́рма" ("пфа́ффова фо́рма") — дифференциальная форма степени 1, Ковариантность и контравариантность
ковариантное тензорное поле валентность тензора
валентности 1 на касательное расслоение
касательном расслоении многообразие
многообразия. Понятие синонимично полю ковариантный вектор
ковариантного вектора. Чаще всего встречающимся примером 1-формы в математике является дифференциал.

Особые случаи
Пусть U \subseteq \mathbb - Словарь терминов общей топологии
область. Рассмотрим функцию f: U \to \mathbb , f\in C^1 . Дифференциал (математика)
Дифференциал 'df' функции 'f', в точке x_0\in U , определён как линейное отображение переменных 'dx'. Имеем df(x_0, dx): dx \mapsto f'(x_0) dx . (Значение символа 'dx' таково: он есть просто аргументом, независимой переменной, функции 'df'.) Поэтому отображение x \mapsto df(x,dx) отображает каждый 'x' в линейный функционал 'df(x,dx)'.


1-форма называется 'замкнутой', если она дифференцируемая, а её внешняя производная везде равна нулю.

Введение
Говоря проще, ковариантный вектор — это такой объект, который действует на обычный контравариантный вектор и в результате даёт число — скалярное произведение этих векторов с обычными свойствами линейности. Размерность ковекторов совпадает с размерностью их контравариантных аналогов.

Это определение согласовано с определением ковариантного тензора валентности 1 (см. Тензор), каковым и является ковариантный вектор (ковектор) в качестве частного случая тензора.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идёт о наборе ковариантных координат любого объекта — 1-формы или обычного вектора, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Ковариантные координаты любого объекта принято записывать с нижним индексом, а также — в матричных обозначениях — в виде вектора-строки (в отличие от записи с верхним индексом и вектора-столбца для контравариантные координаты
контравариантных координат, естественных для представления контравариантный вектор
контравариантного вектора).

Возможно, было бы лучше строго придерживаться различия в понимании терминов «ковектор» и «ковариантный вектор», понимая под первым объект (вектор ко-касательного пространства — 1-форму), а под вторым — представление с нижним индексом любого объекта, однако с одной стороны — изоморфизм между ко- и просто касательным пространствами в случае (псевдо-)римановых многообразий всё равно размывает формальную границу в этом самом распространённом случае, а с другой стороны — традиция применения термина к тензорам достаточно устойчива. Кроме того, подъём-опускание индекса возможны всё-таки не во всех случаях, а при этом свойства представления будут жёстко закреплены за самим объектом.

Простое «традиционное» определение ковариантного вектора из учебника Ландау , стр. 298
:

«Ковариантным вектором называется всякая совокупность [равного размерности пространства количества] величин, которые при преобразовании координат преобразуются как производные от скаляра».

Под производными от скаляра имеются тут в виду производные от скалярной функции по (контравариантным) координатам:

: (\frac{\partial \phi}{\partial x^1},\frac{\partial \phi}{\partial x^2},\dots),

а вектор, согласно «традиционному» подходу определяется как набор его координат, изменяющихся определённым образом при замене базиса (системы координат).

Как видим, формально это определение описывает ковариантное представление, но содержательно описывает в качестве образца ковариантного вектора ковектор — 1-форму — градиент скаляра — для которой (как и для остальных 1-форм) именно это представление естественноЕстественность ковариантного предствыления 1-формы градиента означает, что ее естественное представление — набор частных производных (\frac{\partial \phi}{\partial x^1},\frac{\partial \phi}{\partial x^2},\dots) \equiv \partial_i \phi — дает в скалярном произведении с контравариантным вектором dx^i инвариант d\phi \partial_1 \phi \ dx^1 + \partial_2 \phi\ dx^2 + \dots \partial_i \phi\ dx^i — полный дифференциал функции 'ф', конечно же, инвариантный (в последней формуле подразумевается суммирование по индексу 'i' по правило Эйнштейна
правилу Эйнштейна)..

Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют) задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторами

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектор (геометрия)
вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Метрический тензорИзоморфизм между касательным и ко-касательным пространством
Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрический тензор
метрическим тензором:
:
\ v_i g_ v^j

:
\ v^i g^ v_j

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторами

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов, например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам dx^i) — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр \ d\varphi (\partial_i \varphi)\,dx^i получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора \ \partial_i \varphi, являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором \ dx^i, являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой \ dx^i свёртывается с помощью метрики: \ (dx)^2 g_\, dx^i\, dx^j , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идёт об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности — контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения \ dx^i, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с \ dx^i посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы (1-формы), в противном случае (свёртка требует участия метрики) — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для ковектора же — ковариантное.

Примечания


См. также

Литература



ru.wikipedia.org