142857 (число)

DCCCLVII
bin100010111000001001
hex22E09
oct427011



"142 857" — натуральное число, заключённое между 142856 и 142858.

Математические свойства
Являясь периодом разложения обыкновенной дроби \frac в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.

Циклическое число
Если 142 857 умножение
умножать на 2 (число)
2, 3 (число)
3, 4 (число)
4, 5 (число)
5 или 6 (число)
6, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142857.

: 1 × 142857 142857
: 2 × 142857 285714
: 3 × 142857 428571
: 4 × 142857 571428
: 5 × 142857 714285
: 6 × 142857 857142
: 7 × 142857 999999

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно \frac, \frac и т. д.)

Обобщения цикличности
Если умножать 142857 на бо́льшие целое число
целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142857 или 999999:

: 8 × 142857 1142856 ('после прибавления первой цифры к последней получается 142857')
: 42 × 142857 5999994 ('после прибавления первой цифры к последней получается 999999')
: 142857 × 142857 20408122449 ('после прибавления последних шести цифр к первым пяти — '122449' + '20408' — получается 142857')

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142857, либо к 999999.

Результаты деление
деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на \frac или на \frac соответственно) также можно получить сдвигом:

: 142857 / 2 71428.5
: 142857 / 5 28571.4

После возведения в квадрат (алгебра)
квадрат последних трёх цифр и вычитание
вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

: 857^2 734449\,

: 142^2 20164\,

: 734449 - 20164 714285\,

Как период обыкновенной дроби
Число 142857 также является повторяющейся последовательность (математика)
последовательностью в периодическая дробь
периодической дроби \frac. Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами:

: 1/7 0."142857"142857"142857"14…
: 2/7 0.2857"142857"142857"1428"…
: 3/7 0.42857"142857"142857"142"…
: 4/7 0.57"142857"142857"142857"…
: 5/7 0.7"142857"142857"142857"1…
: 6/7 0.857"142857"142857"14285"…

Другие операции
Если число 142857 возвести в квадрат, то получится 20408122449. Если получившееся число разбить на две части 20408 и 122449 и сложить их, то получится исходное число 142857.

Если число 142857 разбить на 2 части, то есть 142 и 857 и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99.

Другие свойства
142857 является также Числа харшад
Числом харшад и Постоянная Капрекара
Числом Капрекара (см. ).



ru.wikipedia.org